Bewegte Bezugssysteme und Harmonische Schwingungen
Dec06, 2016
Tutorium 6
In dem Tutorium zu Blatt 6 geht es um bewegte Bezugssysteme und den harmonischen Oszillator, also um harmonische Schwingbewegungen.
Der Harmonische Oszillator
Der harmonische Oszillator, also eine System das durch die Bewegungsgleichung $$ \ddot x = - k x $$ beschrieben wird, ist eines der wichtigsten Themen des Physikstudiums überhaupt. Warum? Das Potential, also die potentielle Energie, die zu einer Schwingbewegung gehört hat die Form $E_{\text{pot}} = - \frac{k}{2} x^2$. Für ein kompliziertes Potential, das vielleicht die potentielle Energie eines Elektrons in einem Molekül beschreibt, ist es oft nicht einfach, direkt eine exakte Bewegungsgleichung anzugeben. Wenn man aber eine Taylorentwicklung des Potentials zur quadratischen Ordnung vornimmt, dann sieht jedes noch so komplizierte Potential in zweiter Näherung wie das eines harmonischen Oszillators aus. Insofern ist der harmonische Oszillator nicht nur ein Paradebeispiel für eine analytisch gut lösbare Bewegungsgleichung, sondern tritt auch während des gesamten Physikerlebens immer wieder auf, von der theoretischen Mechanik bis zur Quantenfeldtheorie.
Folien zum Tutorium
Der Foliensatz zum Tutorium ist hier verlinkt: Foliensatz 6
Nicht vergessen, am 29.11. wird in der Experimentalphysik 1 Vorlesung statt der Vorlesung eine Probeklausur geschrieben, die zum einen dazu gedacht ist, dass ihr eine ungefähre Vorstellung bekommt, auf welchem Schwierigkeitsgrad sich die Klausur bewegen wird und wie gut ihr den Vorlesungsinhalt schon versteht, und zum anderen gemeinsam mit erfolgreicher Beteiligung in den Tutorien und Bestehen beider Probeklausuren in Summe der Punkte Bedingung für den Notenbonus ist. Zur ersten Probeklausur ist ein einseitig beschriebener Merkzettel ('Spicker') zugelassen.
Auf den folgenden Seiten stehen Zusammenfassungen, Formelsammlungen oder Übungsaufgaben:
Ein wichtiges Hilfsmittel bei der Lösung physikalischer Probleme sind Erhaltungssätze und die dadurch beschriebenen Erhaltungsgrößen.
Parallelen zwischen Kräften und Drehmomenten
Bei starren Körpern, den nächstkomplizierten Systemen nach den Massenpunkten, kommen zu den drei Freiheitgraden der Schwerpunktsbewegung noch drei Rotationsfreiheitsgrade. Es genügt nicht mehr, bloß die Position im Raum anzugeben, auch die relative Orientierung des Körpers muss nun beschrieben werden. Dazu wird seine Rotation um eine ausgezeichnete Achse, z.B. die Symmetrieachse eines Moleküls beschrieben, sodass nun drei Koordinaten für die Schwerpunktsbewegung und drei Winkel für die Rotationsbewegung angegeben werden müssen.
Damit verbunden sind neue Größen, wie Drehimpuls und Drehmoment.
In diesem Tutorium stehen Kräfte als Ursachen von Bewegungen im Mittelpunkt.
Bisher haben wir nur Bewegungen durch Bahnkurven, deren Geschwindigkeit und Beschleunigung angeben konnten, beschrieben. Nun gehen wir konzeptionell einen Schritt weiter und fragen nach den Ursachen von Bewegungsänderungen und damit nach den Ursachen von Bewegungen überhaupt.
Der Foliensatz zum Tutorium ist hier verlinkt: Foliensatz 3
Kräfte
In der Mechanik gibt es zum einen die Kinematik, die Diziplin, welche Bewegungen beschreibt, und zum anderen die Dynamik, welche den Zusammenhang zwischen Masse, Beschleunigung und die Ursachen für Bewegungsänderungen untersucht.
Zentrales Element der Dynamik sind Kräfte als Ursache von Bewegungsänderungen. Erst einmal ist eine Kraft ein abstraktes Konzept, ein sogenanntes Vektorfeld. Das bedeutet, dass die Kraft an jedem Punkt des Raums eine gerichtete Größe annimmt, also durch einen dreikomponentigen Vektor beschrieben wird. Wenn wir Kräfte auf Körper betrachten, dann interessiert uns immer der Wert des Kraftfeldes an dem Ort, wo sich dieser Körper gerade befindet. Das Gravitationsfeld der Erde wird in der Newtonschen Physik beispielsweise beschrieben durch $\vec{F} = G \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2} \vec{e}_r$, wobei $\vec{e}_r$ der Einheitsvektor in radiale Richtung ist. Um die Gravitationskraft, die auf eine Person an der Erdoberfläche wirkt, zu bestimmen, muss man den Ausdruck für $r = 6371 \,\text{km}$ auswerten. In guter Näherung entspricht das dann $\vec{F}_g = - m g\, e_{z}$, wobei die $z$-Achse nach unten zum Erdmittelpunkt, also eigentlich nach innen zeigt.
Die drei newtonschen Axiome
Die wohl wichtigsten Aussagen zur Mechanik hat Isaac Newton in seiner Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica getätigt.
Die drei sogenannten Newtonschen Axiome geben eine mögliche Grundlage, wie die Mechanik formuliert werden kann. Sie lauten:
1. Axiom Jeder Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen geradlinigen Bewegung, solange keine Kraft auf ihn wirkt oder die Summer der auf ihn wirkenden Kräfte null ist. Der Impuls eines solchen Körpers ist konstant.
2. Axiom Die Ursache für eine Impulsänderung eines Körpers ist eine Kraft, die zu einer zeitlichen Veränderung $\frac{\text{d}\vec{p}}{\text{d}t} = \vec{F} $ führt.
3. Axiom Bei zwei Körpern, die nur miteinander, aber nicht mit anderen Körpern wechselwirken, ist die Kraft $\vec{F_1}$ auf den einen Körper entgegengesetzt gleich der Kraft $\vec{F_2}$ auf den anderen Körper, also $\vec{F_1} = - \vec{F_2}$.
Was steckt in diesen drei Aussagen alles drinnen?
Die Idee dahinter ist, dass wir mit den Axiomen für ein generisches Problem der Mechanik eine Lösung in Form einer Bahnkurve finden können.
Die Newtonschen Axiome sagen uns, wie wir für Körper eine Bahnkurve bestimmen können. Die Vorgehensweise ist, zunächst die auf den Körper wirkenden Kräfte zu bestimmen. Dabei hilft uns neben unserer empirischen Beobachtung das erste Axiom.
Stellen wir uns jemanden vor, der diese Zeilen gerade an einem Schreibtischstuhl liest. Welche Kräfte wirken nun auf ihn oder sie? Die Beobachtung sagt zunächst, dass diese Person still sitzt (völlig in das Studium von Newtons Axiomen vertieft). Dann ist er oder sie in einer gleichförmigen geradlinigen Bewegung (mit Geschwindigkeit null), also muss ein Kräftegleichgewicht vorliegen, da er oder sie andernfalls beschleunigt würde und den Bewegungszustand ändern müsste (und nicht mehr über Physik lesen könnte).
Welche Kräfte wirken also? Da er oder sie wahrscheinlich gerade nicht auf einer Raumstation ist, wirkt die Gewichtskraft und zieht ihn oder sie in den Stuhl hinein.
Doch warum versinkt er oder sie nicht im Stuhl? Es wirkt eine Gegenkraft, welche gleich groß wie die Gravitationskraft ist und diese ausgleicht. Da die Person gerade auf dem Stuhl sitzt, ist die Normalkraft (normal zur Sitzfläche des Stuhls) parallel zur Gewichtskraft und beide heben sich gerade auf.
Nun sagt das zweite newtonsche Axiom, wie sich die Bewegung des Körpers ändern wird.
In diesem einfachen Fall, wo keine Kräfte wirken, lautet das zweite Axiom $\ddot{\vec{r}}(t) = 0$ (wobei bereits durch die Masse $m$ geteilt wurde).
Diese Differentialgleichung lässt sich einfach durch zweifache Integration nach der Zeit lösen. Durch die Integration haben wir noch zwei Integrationskonstanten $\vec{v_0}$ und $\vec{r_0}$ erhalten, die als Anfangsgeschwindigkeit und Startposition interpretiert werden. Nachdem wir nun die Bahnkurve $\vec{r}(t)$ bestimmt haben, können wir sie für alle $t \in \mathbb{R}^{+}$ auswerten und somit die gesamte Vergangenheit und Zukunft des Körpers vorhersagen. Dieser Determinismus findet seinen Höhepunkt im Konzept des Laplaceschen Dämons, aber das nur am Rande bemerkt.
Die Taylor-Entwicklung ist so etwas wie das Schweizer Taschenmesser im mathematischen Werkzeugkasten des Physikers. Sobald eine Funktion zu kompliziert ist, um damit einfach rechnen zu können, lohnt es sich zu überprüfen ob eine Näherung gerechtfertigt ist, die es erlaubt die Funktion mit Konstanten, Geraden, Parabeln und ggf. weiteren Termen höherer Ordnung zu beschreiben.
Dieses Konzept steht hinter einer Taylor-Entwicklung , bei der eine Funktion durch ihre Ableitung und diverse Polynome beschrieben wird.
Diese Sammlung von Demonstrationen zeigt, wie die Taylor-Entwicklungimmer besser wird, je mehr Messpunkte man verwendet.
In diesem Geogebra-Arbeitsbuch zu Wurfbewegungen wird Stück für Stück in Reihenfolge vom Superpositionsprinzip, Freier Fall, Lotrechter Wurf, Waagerechter Wurf bis hin zu Schiefer Wurf das Konzept zum Schiefen Wurf erarbeitet. Die vielen interaktiven Applets sind sehenswert.
Kreisbewegungen
Damit ein Körper auf einer Kreisbahn bleibt, muss eine Kraft wirken, die ihn zum Mittelpunkt hin beschleunigt. Andernfalls, wenn keine Kraft auf den Körper wirken würde, würde der Körper einfach in einer geradlinigen, gleichförmigen Bewegung tangential vom Kreis wegfliegen. Das folgende Video, das von der Rutgers University stammt, demonstriert diesen Sachverhalt sehr anschaulich:
Das erste Tutorium ist wegen eines Feiertages ausgefallen. Ein interaktiver Lösungsvorschlag zu dem Blatt befindet sich als Jupyter-Notebook im Netz (weiter unten verlinkt). Was hat es mit diesen Notebooks auf sich? Jupyter-Notebooks sind eine interaktive Möglichkeit, in verschiedenen Programmiersprachen webbasiert kleine Skripte zu schreiben und direkt deren Ausgabe im Browser zu sehen. Im einfachsten Fall kann man sich ein solches Notebook wie ein Textdokument, in dem sich ein sehr mächtiger Taschenrechner verbirgt, vorstellen. Die Textzeilen sind in Markdown formatiert, wobei auch LaTeX-Syntax unterstützt wird, um Formeln elegant darzustellen.
Da alles im Browser ausgeführt wird und die Befehle in den Codeblöcken serverseitig ausgeführt werden, muss man nichts installieren und kann direkt z.B. mit Hilfe der Python-Programmiersprache die Aufgaben lösen. Man kann die Notebooks entweder statisch betrachten, oder aber mit Binder interaktiv ausführen.
Diese Video-Vorlesung führt die Grundlagen zu Beschleunigung, Geschwindigkeit und Bewegung ein.
Größen und Einheiten
Zu den praktischen Grundlagen der Physik gehört auch ein Einheitensystem. Als quantitative, empirische Wissenschaft, also als ein Unterfangen, bei dem gemessen wird, benötigen wir für jede Messung ein Maß.
Um ein Gefühl für die unglaubliche Weite der von der Physik untersuchten Welt zu bekommen, ist die
Größenskala von Nikon recht nett anzusehen.
